宋元數(shù)學(xué)研究的復(fù)興、交流與互鑒

宋元數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)在明代一度中斷，但在清代乾嘉以后卻成學(xué)界的研究熱點(diǎn)，其成果更被來華西人翻譯并傳播至歐洲。這個(gè)過程也折射出自明末西方傳教士來華以降，在東西方文明直接碰撞的歷史大背景下，中西數(shù)學(xué)文化交流與互鑒的重要一面。

明末清初傳入的西方天文學(xué)和數(shù)學(xué)

明清之際，西方的天文學(xué)、數(shù)學(xué)通過《崇禎歷書》（及其后續(xù)改訂的《西洋新法歷書》《新法算書》）、康熙“御定”的《數(shù)理精蘊(yùn)》《歷象考成》等大型著作的編纂，取得了朝廷的正統(tǒng)地位。當(dāng)時(shí)恰逢歐洲文藝復(fù)興，古典人文和科學(xué)著作的相關(guān)研究蔚然成風(fēng)。西方傳教士因利乘便，除引進(jìn)托勒密、第谷等幾何宇宙模型用以計(jì)算天文歷法以外，還以中文翻譯了《幾何原本》前六卷等古希臘數(shù)學(xué)經(jīng)典。因而傳教士引入的西方數(shù)學(xué)是以幾何為主，這一數(shù)學(xué)分支以公理化為特點(diǎn)，即從幾個(gè)“不證自明”的公理出發(fā)，推導(dǎo)證明一系列的命題，形成一個(gè)完整的知識體系。

相比歷史悠久的幾何，代數(shù)是歐洲人從阿拉伯人那里學(xué)習(xí)到的，時(shí)間并不長，在康熙年間傳入中國，收入《數(shù)理精蘊(yùn)》，被稱為“借根方”。即以假借根數(shù)、方數(shù)之意，相當(dāng)于設(shè)未知數(shù)x和x的乘方。根據(jù)韓琦的研究，康熙帝晚年對傳教士不再完全信任，倡導(dǎo)“自立”精神，努力擺脫后者對歷算的把控。梅瑴成，“清朝算學(xué)第一”梅文鼎之孫，首先從詞源上解釋“借根方”的西名“阿爾熱巴達(dá)”（即代數(shù)algebra的音譯）為“東來法”，是宋元時(shí)期的“立天元一”法傳播到西域之后又再次傳回。

乾嘉學(xué)人對宋元數(shù)學(xué)典籍的發(fā)掘

現(xiàn)在我們知道，algebra源于阿拉伯語al-jabr，意為還原，即還原方程中的未知數(shù)。因而梅瑴成的詞源解釋是一個(gè)誤解，他只是根據(jù)明人偶爾提及的“立天元一”，從整體性質(zhì)上推測出這是一種與“借根方”相類似的代數(shù)方法。“借根方”有沒有受到“立天元一”的影響，須廣泛考察、比較相關(guān)的中外文數(shù)學(xué)史料，至今還無法證明確有其事，但無論要證明抑或證偽，當(dāng)時(shí)學(xué)者首先要解決獲得可讀可信的中文數(shù)學(xué)史料這一基礎(chǔ)問題。因?yàn)榻?jīng)歷了有明一代的沉寂，天算之學(xué)已成“絕學(xué)”，“立天元一”法具體是怎么樣的一種算法，當(dāng)時(shí)并沒有人知曉。解決問題的轉(zhuǎn)折在于《四庫全書》的編纂，四庫館臣從《永樂大典》中輯出李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，證實(shí)了“立天元一”的確是一種建立一元高次方程求解的算法——天元術(shù)。四庫館臣又輯出秦九韶的《數(shù)書九章》（又名《數(shù)學(xué)九章》，以下簡稱“秦書”），并將“誤者正之，疏者辨之，顛倒者次序之，各加案語于下”，作出了初步?？?。

此外，遠(yuǎn)在江南的乾嘉學(xué)者，也得以從四庫閣中抄出李、秦算書并加以比較研究，得到更深刻的結(jié)論。前有考據(jù)學(xué)大師錢大昕在《跋秦九韶?cái)?shù)學(xué)九章》敏銳地指出秦書“有立天元一法，與李冶《測圓海鏡》所衍立天元一法本不甚同”。后有著名校勘學(xué)家、目錄學(xué)家顧廣圻為揚(yáng)州藏書家秦恩復(fù)覆算、校正其所藏趙琦美抄本的《數(shù)書九章》，準(zhǔn)備刊刻出版。顧氏發(fā)現(xiàn)“其題問與術(shù)草不相應(yīng)”，并認(rèn)為秦九韶“大衍術(shù)非天元一法，未可以其有立天元一之語，遂以郭守敬及李冶所謂天元一者當(dāng)之”，正確地指出了秦書所創(chuàng)大衍術(shù)雖然也有“立天元一”，但并不是李冶算書中的天元術(shù)。

顧廣圻雖然對秦書作了校正，但不知何故最終未能出版。不過，《數(shù)書九章》在稍后的1842年出版了迄今為止唯一的刻本（參見圖1），其出版過程顯示出乾嘉學(xué)人師徒友朋之間前后相繼為該書善本出版而作出的努力。上海巨富郁松年曾作序自述在刊刻《宜稼堂叢書》二種后，“益思得宋元人秘笈”，聽說“《數(shù)書九章》思精學(xué)博，大衍求一、正負(fù)開方兩術(shù)，尤為闡自古不傳之秘”，但刊刻出版仍然要面對校正錯(cuò)漏的老問題。幸好之前李銳校勘過四庫本，沈欽裴校勘過張敦仁家藏的趙琦美本，因而沈欽裴弟子宋景昌得以在沈、李遺稿的基礎(chǔ)上作進(jìn)一步的?？薄，F(xiàn)在我們看到宜稼堂叢書本《數(shù)書九章》附有署名宋景昌的《札記》，成為該書不可或缺的重要組成部分，實(shí)際上集合了沈欽裴、李銳和宋景昌等算學(xué)家的?？背晒?。

除秦書外，《宜稼堂叢書》還收入了南宋另一位數(shù)學(xué)家楊輝的著作六種，同樣附有札記。楊輝書四庫未收，阮元求訪三十年而未得，只因偶然機(jī)會得見《永樂大典》中有載，抄錄約百條；后來藏書家黃丕烈得到楊書散葉，與李銳一起排比整齊后，才得書六卷。朱世杰的《四元玉鑒》同樣是阮元在浙江時(shí)訪得；《算學(xué)啟蒙》則是其弟子羅士琳從琉璃廠書肆中得到的朝鮮翻刻本。

秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰等人撰寫的數(shù)學(xué)典籍，在經(jīng)歷數(shù)百年的沉寂之后重見天日，應(yīng)當(dāng)歸功于乾嘉學(xué)者的發(fā)掘、整理和研究。除了乾嘉學(xué)派重視古典文獻(xiàn)考據(jù)的傳統(tǒng)以外，韓琦認(rèn)為，西方數(shù)學(xué)特別是“借根方”的傳入，既為乾嘉學(xué)者提供了知識準(zhǔn)備，同時(shí)也因“自立”精神的提倡刺激了宋元數(shù)學(xué)的復(fù)興。確實(shí)，乾嘉學(xué)者對這些宋元數(shù)學(xué)典籍的研究成果，展現(xiàn)了一個(gè)獨(dú)特而領(lǐng)先于同時(shí)代西方的代數(shù)學(xué)知識體系。這些數(shù)學(xué)（史）知識，也成為下一階段西方作中西數(shù)學(xué)比較互鑒時(shí)的重要素材。

19世紀(jì)中西數(shù)學(xué)文化的交流互鑒

在“借根方”傳入中國的康熙時(shí)代，西歐的數(shù)學(xué)得到革命性的突破。源于古希臘的幾何學(xué)傳統(tǒng)和來自東方印度與阿拉伯人的代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)在歐洲碰撞交匯，合兩者之長的解析幾何、微積分等數(shù)學(xué)分支相繼發(fā)展，成為近代科學(xué)革命的重要基礎(chǔ)之一。正因?yàn)檫@一系列數(shù)學(xué)成就，19世紀(jì)的歐洲人頗為自負(fù)，就連印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼和十進(jìn)位值記數(shù)法也成為“現(xiàn)代”的標(biāo)志。曾任香港總督的德庇時(shí)（John F. Davis）就批評“中文的數(shù)字寫得很長，不像阿拉伯?dāng)?shù)碼體系，數(shù)字的次冪根據(jù)數(shù)位十倍十倍地增加或減小”。這是因?yàn)樗藭r(shí)只看過一般的中文古書，而沒有看到傳統(tǒng)算書，并不知道從算籌數(shù)字演化而來的民間商用數(shù)碼——跟印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼一樣橫寫的蘇州碼子。

隨著鴉片戰(zhàn)爭后五口通商，19世紀(jì)50年代來華的英國漢學(xué)家偉烈亞力（Alexander Wylie）通過向中國學(xué)者學(xué)習(xí)并與他們合作翻譯外國數(shù)學(xué)著作，認(rèn)識到前人對中國數(shù)學(xué)有著很深的誤解。于是他用英文撰寫了長篇論文《中國科學(xué)略記·算術(shù)》（“Jottings on the Science of the Chinese. Arithmetic”），加以糾正。該文在1852年的《北華捷報(bào)》（The North-China Herald）上共分9期連載：（1）緒論、數(shù)學(xué)在中國的起緣、7世紀(jì)前的算書；（2）7世紀(jì)到14世紀(jì)的算書；（3）數(shù)碼與基本算術(shù)運(yùn)算、《九章算術(shù)》（上）；（4）《九章算術(shù)》（下）；（5）秦九韶大衍術(shù)（上）；（6）大衍術(shù)（下）；（7）天元術(shù)、開方術(shù)；（8）四元術(shù)、借根方、19世紀(jì)初的古算復(fù)興；（9）當(dāng)時(shí)中國的數(shù)學(xué)研究、結(jié)語。其中，第（5）至第（8）共四期是宋元數(shù)學(xué)部分，占全文近一半的篇幅。通過中西比較，偉烈亞力發(fā)現(xiàn)秦九韶的開方術(shù)（參見圖2），相當(dāng)于歐洲的高次數(shù)值方程解法——霍納法，認(rèn)為“秦是我們發(fā)現(xiàn)的完整發(fā)展出解決復(fù)雜方程的第一人”。這一洞見，連同中國古代重要的數(shù)學(xué)典籍、數(shù)學(xué)家及其貢獻(xiàn)，以及數(shù)學(xué)在當(dāng)時(shí)中國的發(fā)展情況，一并向西方世界作出介紹。該文有很大的反響，很快被譯成法、德等文字在歐洲學(xué)界廣泛傳播。

偉烈亞力之所以對中西數(shù)學(xué)比較互鑒這一課題感興趣，除了當(dāng)時(shí)中國學(xué)者以研習(xí)宋元數(shù)學(xué)為一時(shí)風(fēng)尚外，還受到英國“劍橋代數(shù)學(xué)派”的影響。該學(xué)派出現(xiàn)于19世紀(jì)上半葉，旨在將萊布尼茨的微積分符號引入劍橋大學(xué)，并建立起一個(gè)獨(dú)立于幾何學(xué)的新的代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。代表人物為第一代的巴貝奇（Charles Babbage）、皮考克（George Peacock）和第二代的德摩根（Augustus De Morgan）等。書寫數(shù)學(xué)的歷史是這一學(xué)派獨(dú)特的學(xué)術(shù)實(shí)踐之一，特別是皮考克和德摩根師徒二人。法國學(xué)者杜蘭德-理查德（Marie-José Durand-Richard）曾對皮考克有深入研究，指出后者曾為《大都會百科全書》（Encyclopaedia Metropolitana）中撰寫《算術(shù)》（Arithmetic）一文，當(dāng)中詳細(xì)描寫比較了世界各個(gè)民族的算術(shù)—代數(shù)學(xué)史，并以此作為其學(xué)派主張——代數(shù)學(xué)是更為普適而根本的科學(xué)，而不僅僅是處理問題的巧妙手法——的主要論據(jù)。德摩根則為英國實(shí)用知識傳播學(xué)會（Society for the Diffusion of Useful Knowledge）主編的《便士百科全書》（Penny Cyclopaedia），撰寫了約850篇天文和數(shù)學(xué)詞條，當(dāng)中也頗多涉及數(shù)學(xué)史，偉烈亞力在《略記》中多有引用。

此外，偉烈亞力認(rèn)為中國古代的算術(shù)及其所衍生出的代數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，彰顯了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特別是算術(shù)—代數(shù)學(xué)方面的智慧和成就，可以引導(dǎo)中國人進(jìn)一步學(xué)習(xí)。因此，他后來與李善蘭一起翻譯德摩根的Element of Algebra為《代數(shù)學(xué)》。此后，源于阿拉伯語的algebra就被譯成“代數(shù)”。由此，我們可以看到一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)知識環(huán)流：明清之際傳入的西方代數(shù)學(xué)“借根方”刺激了乾嘉學(xué)者對宋元數(shù)學(xué)典籍的發(fā)掘，進(jìn)而為偉烈亞力等西方學(xué)者對中西數(shù)學(xué)文化作比較、交流和互鑒提供了可能，同時(shí)促進(jìn)了更深入的代數(shù)學(xué)、微積分等最新數(shù)學(xué)分支的引入。（作者：陳志輝  內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院副教授）